Пересечение геометрических тел плоскостью

При пересечении геометрических тел плоскостью образуется замкнутая лома­ная или кривая линия. Изображение плоской фигуры, которая получается в ре­зультате мысленного пересечения предме­та плоскостью, называется сечением. Се­чения применяют в техническом черчении и проектных чертежах для лучшего вы­ явления формы изображенного предмета.

Рассмотрим способы построения сече­ний геометрических тел проецирующими плоскостями и способы определения дей­ствительного вида сечений.

◊Сечение призмы.

Правильная трехгранная призма пересекается фронтально про­ецирующей плоскостью Р, т. е. плоско­стью, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции V.  На рис. 1, а по­казан фронтальный след секущей плоско­сти Pv, который называется линией сече­ния.
Рисунок-1. Сечение призмы фронтально проецирующей плоскостью (а) и построе­ние действительного вида сечения (б)

На фронтальной проекции видно, что боковые ребра призмы пересекаются плоскостью Р в точках 1′ , 2′, 3′. Следова­тельно, в сечении получится треугольник, который на фронтальной проекции проеци­руется в линию и совпадает с проецирую­щим следом плоскости Pv, а на горизон­тальной проекции — с проекцией призмы.

Построим профильную проекцию сече­ния, перенося с помощью линий связи про­екции вершин треугольника на соответ­ствующие проекции ребер призмы. Все три проекции сечения искажены, поскольку се­кущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций.

В произвольном месте чертежа построим действительный вид (натуральную величину) сечения (рис. 1,б). Сторона треугольника сече­ния 1′ —3′ проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения, по­ скольку она параллельна ей. Высота треу­гольника у₂ проецируется в истинную ве­личину на горизонтальной и профильной проекциях. Действительный вид сечения принято заштриховывать.

Сечение пирамиды.

Правильная прямая трехгранная пирамида пересекается гори­зонтально проецирующей плоскостью Р, т. е. плоскостью, перпендикулярной гори­зонтальной плоскости проекций Н. На рис. 2, а показан горизонтальный след секущей плоскости Рн .

Рисунок-2. Сечение пирамиды горизонтально проецирующей плоскостью (а) и построение действительного вида сечения (б)

При построении сечения горизонтально проецирующей плоскостью следует по­мнить, что плоская фигура (сечение), рас­положенная в этой плоскости, всегда прое­цируется на горизонтальную плоскость проекций прямой линией, совпадающей с линией сечения или со следом плоскости Рн .

Таким образом, по горизонтальной проекции сечения можно построить ее фронтальную проекцию. Для этого отдель­ные точки сечения 1, 2, 3, 4, отмеченные на горизонтальной плоскости проекций, на­ ходят по линиям связи на фронтальной проекции предмета (1′, 2′, 3′, 4′) и соеди­няют их в определенном порядке.

Построим профильную проекцию сече­ния 1″—2″—3″—4″, перенося с помощью линий связи проекции вершин четыреху­гольника на соответствующие проекции ребер пирамиды. Все три проекции сече­- ния искажены, поскольку секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Определим действи­тельный вид сечения.

Повернем фигуру сечения вокруг горизонтального следа се­кущей плоскости Рн или вокруг линии сечения основания пирамиды 1—4 и со­вместим ее с горизонтальной плоскостью проекций Н. При этом каждая точка будет вращаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Высоты (аппликаты) точек 2 и 3 (z₂ и z₃) отложим по линиям, перпен­дикулярным следу плоскости Рн .

Получен­ные точки 2о и Зо соединим прямыми меж­ду собой и с точками 1 и 4. Натуральную величину сечения заштрихуем.
Действительный вид сечения (четыреху­гольник 1—2о—Зо—4) можно построить также и в произвольном месте чертежа (рис. 2, б) по известным на чертеже раз­ мерам сечения, его горизонтальной проек­ции— линии 1—2—3—4 и высотам точек 2о и 3о.

Сечение цилиндра.

Рисунок-3. Сечение цилиндра фронтально проецирующей плоскостью:

а — построение действительного вида сечения, б — развертка поверхности усеченного цилиндра, е — соединение элементов трубопровода, выполненных по шаблону путем развертки усеченных цилиндров

Прямой круговой ци­линдр пересекается фронтально проециру­ющей плоскостью Р (рис. 3, а), перпенди­кулярной плоскости проекции V. Секущая плоскость наклонена к оси цилиндра и по­ этому пересекает его поверхность по эл­липсу. Этот эллипс проецируется на фрон­тальную плоскость проекций в прямую ли­нию, совпадающую со следом секущей плоскости Рv.

Горизонтальная проекция эллипса совпадает с проекцией нижнего основания цилиндра. Построим действительный вид сечения.
Большая ось эллипса будет равна его фронтальной проекции— отрезку а’b’. Проведем на произвольном расстоянии от следа секущей плоскости Pv прямую, па­раллельную линии сечения, и перенесем на нее с помощью перпендикулярных прямых концы большой оси эллипса — точки А и В.

Малая ось эллипса CD будет равна отрезку прямой cd, взятому с горизонталь­ ной проекции (диаметр цилиндра). Лю­бую пару точек эллипса, симметричных относительно его большой оси (например, точки M и N), строим, перенося посредст­вом линий связи соответствующие полу­хорды с горизонтальной проекции фигуры сечения (m, n).

На рис. 3, б дана развертка поверхности цилиндра, у которого удалена отсечен­ная верхняя часть. Развертка боковой по­верхности цилиндра выполнена аналогич­но построению развертки, приведенному на рис. 3 в этой статье. Линию пересечения на развер­тке строим, перенося с фронтальной про­екции цилиндра с помощью горизонталь­ных прямых высоты соответствующих пар точек.

С разверткой боковой поверхности совмещаются круг — основание цилиндра и эллипс — действительный вид сечения, при этом эллипс совмещается с определен­ ной точкой кривой (точка В).

Способ построения развертки поверхно­сти усеченного цилиндра можно использо­вать для выполнения шаблона, применяе­мого для раскроя листового металла тру­бопроводов и других конструкций (рис. 3, в ).

***** РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!

*****