Развертки поверхностей геометрических тел

Разверткой поверхности геометрическо­го тела вызывается плоская фигура, кото­рая получается в результате совмещения всех граней или всех поверхностей, огра­ничивающих тело, с одной плоскостью.
Поверхности некоторых геометрических тел криволинейной формы, например шара и других поверхностей вращения, нельзя развернуть в одну плоскость. Для развер­тки таких поверхностей используют спосо­бы приближенной развертки.

Построим развертки поверхностей неко­торых геометрических тел.
Развертка призмы. На рис. 1, а изо­бражена правильная прямая трехгранная призма. Боковая поверхность призмы со­ стоит из трех равных прямоугольников, ширина и высота которых известны. Осно­вания призмы проецируются на горизон­тальную плоскость проекций в истинную величину.

Рисунок-1. Развертка поверхности призмы:

а — чертеж, б — полная развертка поверхности

Построим развертку боковой поверхно­сти призмы (рис. 1, б). Для этого вдоль горизонтальной прямой отложим три от­резка, равных стороне основания призмы A₁B₁ = B₁C₁ = С₁А₁. Из точек A₁, B₁, C₁ и A₁ проведем вертикальные прямые, рав­ные высоте призмы. Через полученные точ­ки проведем горизонтальную прямую.

По­лученная фигура — прямоугольник, состо­ящий из трех прямоугольников, кото­рые равны граням призмы, будет развер­ткой ее боковой поверхности. Совместим два основания призмы — равносторонние треугольники — с разверткой боковой по­верхности призмы.

Пользуясь размером l, взятым с горизонтальной проекции при­змы, и линией связи, построим на развер­тке точку E, принадлежащую грани A A₁ B B₁ .

Развертка пирамиды.

Построим развер­тку боковой поверхности правильной пря­мой трехгранной пирамиды, изображенной на рис. 2, а, с точкой Е на грани ASС.
Основание пирамиды проецируется на горизонтальную плоскость проекций в истин­ную величину. Боковая поверхность пира­миды состоит из трех равных равнобедрен­ных треугольников. Для построения треу­гольников определим размеры их сторон.

Рисунок-2. Развертка поверхности пирамиды:

а — чертеж, б — полная развертка поверхности

Основание равнобедренного треугольника равно стороне основания пирамиды. Две другие равные стороны треугольника рав­ны боковым ребрам пирамиды, которые про­ецируются на горизонтальной и фронталь­ной плоскостях проекций с искажением.

Чтобы определить действительный размер ребра, повернем ребро AS вокруг верти­кальной оси, проходящей через вершину S пирамиды, до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Точка S остается неподвижной, а точки А и N на горизонтальной проекции переместятся по дугам горизонтальных окружностей, кото­рые на фронтальной проекции спроецируются горизонтальными отрезками.

Гори­зонтальные проекции этих точек займут положения a₁ и n₁. Фронтальная проекция ребра s’a’₁ = L будет натуральной вели­чиной ребра пирамиды. Имея все необходимые данные, можно приступить к построению развертки пира­миды. Из точки S (рис. 2, б) проведем дугу окружности радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды s’a₁’ = L, и на этой дуге отложим три отрезка, равные стороне основания пирамиды.

Полученные точки В, А, С, В последовательно соединим прямыми между собой и с точкой S, это и будет развертка боковой поверхности пирамиды. На одной из сторон, например стороне АС, построим равносторонний тре­угольник, равный основанию пирамиды.

Положение точки Е на развертке опре­деляют, откладывая на прямой AS отрезок l₁, взятый с фронтальной проекции пира­миды. Из полученной точки N проведем прямую NM, параллельную основанию АС треугольника, и отложим на ней отрезок l, взятый с горизонтальной проекции.

Развертка цилиндра.

Цилиндр (рис.3, а) проецируется на горизонтальную плоскость проекций в круг, равный его основаниям, а на фронтальную плос­кость — в прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина — диа­метру основания цилиндра.

Рисунок-3. Развертка поверхности цилиндра:

а — чертеж, 6 — полная развертка поверхности

Развертка боковой поверхности цилинд­ра представляет собой прямоугольник (рис. 3, б), ширина которого равна высо­те цилиндра Н, а длина — длине окружно­сти основания πD. Совместив с разверткой боковой поверхности два круга (основа­ния цилиндра), получим полную развертку поверхности цилиндра.

Если не требуется большой точности развертки, то ее можно построить приближенным способом. Для этого окружность основания разделим на 12 частей, циркулем отложим одну такую часть (хорду) 12 раз на длине прямоу­гольника.Точку Е перенесем на развертку с по­ мощью отрезка m, равного 4 — е, взятого с горизонтальной проекции, и  отрезка h (высота точки), взятого с фронтальной проекции.

Развертка конуса.

Построим развертку поверхности прямого кругового конуса, изображенного на рис. 4, а. Боковая по­верхность конуса на развертке (рис. 4, б) представляет собой круговой сектор, ради­ ус которого равен длине образующей L, а угол при вершине α = (D/l) 180°, где D — диаметр основания конуса.

Рисунок-4. Развертка поверхности конуса:

а — чертеж, б — полная развертка поверхности

Для по­ строения развертки графическим способом разделим боковую поверхность на 12 частей и на развертке отложим цирку­лем 12 таких частей (хорд) на длине ок­ружности, проведенной радиусом, равным длине образующей L.

Точку К, принадлежащую боковой по­верхности конуса, перенесем на развертку следующим образом. Через точку К про­ ведем образующую SA, которую повернем вместе с точкой К вокруг оси конуса до положения S — 12, параллельного фрон­тальной плоскости проекций.

Фронтальная проекция точки переместится по горизон­тали до положения к,. Чтобы построить на развертке точку К, перенесем сначала отрезок 2— а = l и проведем образую­щую SA, а на ней отложим отрезок к₁ — 12′ = l₁.

***** РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!

*****