Развертки поверхностей геометрических тел
Разверткой поверхности геометрического тела вызывается плоская фигура, которая получается в результате совмещения всех граней или всех поверхностей, ограничивающих тело, с одной плоскостью.
Поверхности некоторых геометрических тел криволинейной формы, например шара и других поверхностей вращения, нельзя развернуть в одну плоскость. Для развертки таких поверхностей используют способы приближенной развертки.
Построим развертки поверхностей некоторых геометрических тел.
Развертка призмы. На рис. 1, а изображена правильная прямая трехгранная призма. Боковая поверхность призмы со стоит из трех равных прямоугольников, ширина и высота которых известны. Основания призмы проецируются на горизонтальную плоскость проекций в истинную величину.
Рисунок-1. Развертка поверхности призмы:
а — чертеж, б — полная развертка поверхности
Построим развертку боковой поверхности призмы (рис. 1, б). Для этого вдоль горизонтальной прямой отложим три отрезка, равных стороне основания призмы A₁B₁ = B₁C₁ = С₁А₁. Из точек A₁, B₁, C₁ и A₁ проведем вертикальные прямые, равные высоте призмы. Через полученные точки проведем горизонтальную прямую.
Полученная фигура — прямоугольник, состоящий из трех прямоугольников, которые равны граням призмы, будет разверткой ее боковой поверхности. Совместим два основания призмы — равносторонние треугольники — с разверткой боковой поверхности призмы.
Пользуясь размером l, взятым с горизонтальной проекции призмы, и линией связи, построим на развертке точку E, принадлежащую грани A A₁ B B₁ .
Развертка пирамиды.
Построим развертку боковой поверхности правильной прямой трехгранной пирамиды, изображенной на рис. 2, а, с точкой Е на грани ASС.
Основание пирамиды проецируется на горизонтальную плоскость проекций в истинную величину. Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Для построения треугольников определим размеры их сторон.
Рисунок-2. Развертка поверхности пирамиды:
а — чертеж, б — полная развертка поверхности
Основание равнобедренного треугольника равно стороне основания пирамиды. Две другие равные стороны треугольника равны боковым ребрам пирамиды, которые проецируются на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций с искажением.
Чтобы определить действительный размер ребра, повернем ребро AS вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину S пирамиды, до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Точка S остается неподвижной, а точки А и N на горизонтальной проекции переместятся по дугам горизонтальных окружностей, которые на фронтальной проекции спроецируются горизонтальными отрезками.
Горизонтальные проекции этих точек займут положения a₁ и n₁. Фронтальная проекция ребра s’a’₁ = L будет натуральной величиной ребра пирамиды. Имея все необходимые данные, можно приступить к построению развертки пирамиды. Из точки S (рис. 2, б) проведем дугу окружности радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды s’a₁’ = L, и на этой дуге отложим три отрезка, равные стороне основания пирамиды.
Полученные точки В, А, С, В последовательно соединим прямыми между собой и с точкой S, это и будет развертка боковой поверхности пирамиды. На одной из сторон, например стороне АС, построим равносторонний треугольник, равный основанию пирамиды.
Положение точки Е на развертке определяют, откладывая на прямой AS отрезок l₁, взятый с фронтальной проекции пирамиды. Из полученной точки N проведем прямую NM, параллельную основанию АС треугольника, и отложим на ней отрезок l, взятый с горизонтальной проекции.
Развертка цилиндра.
Цилиндр (рис.3, а) проецируется на горизонтальную плоскость проекций в круг, равный его основаниям, а на фронтальную плоскость — в прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина — диаметру основания цилиндра.
Рисунок-3. Развертка поверхности цилиндра:
а — чертеж, 6 — полная развертка поверхности
Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник (рис. 3, б), ширина которого равна высоте цилиндра Н, а длина — длине окружности основания πD. Совместив с разверткой боковой поверхности два круга (основания цилиндра), получим полную развертку поверхности цилиндра.
Если не требуется большой точности развертки, то ее можно построить приближенным способом. Для этого окружность основания разделим на 12 частей, циркулем отложим одну такую часть (хорду) 12 раз на длине прямоугольника.Точку Е перенесем на развертку с по мощью отрезка m, равного 4 — е, взятого с горизонтальной проекции, и отрезка h (высота точки), взятого с фронтальной проекции.
Развертка конуса.
Построим развертку поверхности прямого кругового конуса, изображенного на рис. 4, а. Боковая поверхность конуса на развертке (рис. 4, б) представляет собой круговой сектор, ради ус которого равен длине образующей L, а угол при вершине α = (D/l) 180°, где D — диаметр основания конуса.
Рисунок-4. Развертка поверхности конуса:
а — чертеж, б — полная развертка поверхности
Для по строения развертки графическим способом разделим боковую поверхность на 12 частей и на развертке отложим циркулем 12 таких частей (хорд) на длине окружности, проведенной радиусом, равным длине образующей L.
Точку К, принадлежащую боковой поверхности конуса, перенесем на развертку следующим образом. Через точку К про ведем образующую SA, которую повернем вместе с точкой К вокруг оси конуса до положения S — 12, параллельного фронтальной плоскости проекций.
Фронтальная проекция точки переместится по горизонтали до положения к,. Чтобы построить на развертке точку К, перенесем сначала отрезок 2— а = l и проведем образующую SA, а на ней отложим отрезок к₁ — 12′ = l₁.
*****
Добавить комментарий