Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел

Линию пересечения поверхностей гео­метрических тел в техническом черчении называют также линией перехода; эта ли­ния принадлежит одновременно двум пе­ресекающимся поверхностям. Линия пере­сечения в зависимости от вида пересекаю­щихся поверхностей может быть ломаной, состоящей из отрезков прямых или участков плоских кривых, а также про­странственной кривой линией.Рассмотрим примеры построения линий пересечения поверхностей геометрических тел.

◊ Пересечение двух призм.

Рис. 1. Построение пересечения поверхностей двух призм

На рис. 1 изо­бражены две пересекающиеся правильные прямые призмы— шестигранная и трехгранная. Боковые грани шестигранной призмы являются горизонтально проеци­рующими плоскостями, а боковые грани трехгранной призмы — фронтально прое­цирующими плоскостями.

Поэтому точки пересечения ребер и линии пересечения граней шестигранной призмы с трехгран­ной (f — d — h — е — g) и симметричные им видны на горизонтальной проекции, а точки и линии пересечения ребер и гра­ней трехгранной призмы с шестигранной( f’—d’—h’—е’—g’) видны на фронталь­ной проекции.

Построим проекции точек линии пересе­чения на профильной проекции — точки d», е» и f», g » и им симметричные; соеди­ним прямыми построенные точки. Линия пересечения двух заданных призм пред­ставляет собой две замкнутые простран­ственные ломаные линии.

Пересечение конуса и призмы.

Рисунок-2. Пересечение поверхностей призмы и конуса

На рис.2  дано пересечение поверхностей прямого кругового конуса и трехгранной призмы. Боковые грани призмы являются фрон­тально проецирующими плоскостями, сле­довательно, на фронтальной проекции ли­ния пересечения этих граней с поверхно­стью конуса совпадает с проекциями боковых граней.

Грани призмы пересекают поверхность конуса по окружности (ни­жняя грань), неполному эллипсу (левая грань) и неполной параболе (правая грань). Таким образом, необходимо по­строить горизонтальные проекции этих ли­ний пересечения.

Горизонтальные проекции точек, при­ надлежащих линиям пересечения, постро­им с помощью горизонтальных окружно­стей — параллелей конуса. Точки 1, 1 най­дем с помощью параллели h₁, (малая окружность); параллель h₁₁₁ (большая ок­ружность) на участке 2’—3′ совпадает с линией сечения конуса нижней гранью призмы.

В качестве промежуточных то­чек линии пересечения целесообразно вы­брать точки 4′, 4′ — концы малой оси эл­липса (левая грань), которая делит боль­шую ось эллипса (а’—b’) пополам. Про­ведем параллель h₁₁ и построим гори­зонтальные проекции точек 4′, 4 и 5, 5. Соединим попарно полученные точки 1—4—2 (часть эллипса) и 1—5—3 (часть параболы) плавными кривыми, а точки 2 и 3 — дугами окружности (проекции этих линий невидимы).

Линия пересечения конуса и призмы представляет собой два замкнутых кон­ тура, состоящих из участков плоских кри­вых — частей окружности, эллипса и па­раболы.

Пересечение цилиндра и конуса.

Рисунок-3. Пересечение поверхностей конуса и цилиндра

На рис.3 приведено пересечение прямого усечен­ного кругового конуса с половиной круго­вого цилиндра. Боковая поверхность цилиндра является профильно проецирую­щей поверхностью, следовательно, про­фильная проекция линии пересечения

(d»—n», m «—а», b»—n», m»— с») совпа­дает с проекцией боковой поверхности ци­линдра — дугой полуокружности. Точки пересечения очерковых образую­щих конуса и цилиндра на фронтальной проекции (а’, b’) перенесем на горизон­тальную проекцию с помощью верти­кальных линий связи; точка а, b совпа­дают с горизонтальной проекцией оси цилиндра.

Точки пересечения очерковых образующих конуса с проецирующей по­верхностью цилиндра на профильной про­екции (d», с») перенесем посредством ли­ний связи на фронтальную и горизонталь­ную проекции;

точки d и с совпадут с вертикальной осью симметрии. Таким образом строят характерные (опорные) точки кривой линии пересечения: высшие А, В и низшие С, D точки. Промежуточные точки линии пересече­ния (n’, m’; n, m; n», m») строим способом вспомогательных секущих плоскостей.

Этот способ заключается в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружно­стям). Пересечение этих линий или кон­ туров вспомогательных сечений дает точ­ки, принадлежащие линии пересечения по­верхностей.

Проведем вспомогательную секущую плоскость Р (горизонтальную) между вы­сшими A, В и низшими С, D точками искомой линии пересечения. Она пересечет конус по окружности радиуса r, а ци­линдр — по двум образующим. Образую­щие цилиндра определяются на профиль­ной проекции.

Пересечение вспомогатель­ных линий сечения на горизонтальной проекции и даст точки m, n, принадлежа­щие линии пересечения поверхностей. Фронтальные проекции этих точек m’, n’ строим с помощью вертикальных линий связи;

они определяются на следе плоско­сти Pv. Полученные точки соединим плав­ными кривыми. Линия пересечения цилин­дра и конуса представляет собой про­странственную кривую линию.

Пересечение соосных поверхностей вра­щения.

Рисунок-4. Пересечение соосных поверхностей вращения (а); пересечение двух цилиндров одинакового диаметра в прямоугольных проекциях (б) и в аксоно­метрии (в)

Соосными называют поверхности с общей осью вращения (рис. 4, а). Соос­ные поверхности вращения пересекаются по окружности. Если общая ось этих по­верхностей параллельна какой-либо плоскости проекций, то линия пересече­ния (окружность) проецируется на эту плоскость проекций отрезком прямой, ко­торый перпендикулярен проекции оси и со­единяет точки пересечения очертаний этих поверхностей.

На рис. 4, б приведено построение пе­ресечения двух цилиндров одинакового диаметра. Если оси цилиндров пересека­ются и параллельны какой-либо плоскости проекций, то такие цилиндры пересекают­ся по двум плоским кривым (эллипсам), которые проецируются на эту плоскость проекций (в нашем примере — на фрон­тальную плоскость проекций V) пересека­ющимися отрезками прямых 1′ —2′, сое­диняющими противоположные точки пере­ сечения очерковых образующих цилинд­ров (рис. 4, в). Эти две плоские кривые пересекаются в точках А и В, называемых
точками прикосновения.

Рисунок-5. Пересечение конуса и цилиндра по двум плоским
а — фронтальная проекция, б — аксонометрия пересечения, в — построение поверхностей, соединяющих цилиндрические трубы
кривым (эллипсам):
переходных конических

В таких точках цилиндрические поверхности касаются од­ на другой и образуют так называемое двойное прикосновение. По плоским кривым могут пересекаться не только цилиндры одинакового диамет­ра, но и другие поверхности вращения с пересекающимися осями (рис. 5, а).

Основной признак пересечения поверхно­стей по плоским кривым: если в две пере­секающиеся поверхности вращения можно вписать сферу так, чтобы они касались ее, то такие поверхности будут пересекаться между собой по двум плоским кривым — эллипсам (рис. 5, б).

На рис. 5, в приведен пример пересече­ния поверхности трубопроводов. Цилин­дрические трубы разных диаметров соеди­няются переходными коническими повер­хностями, соединяющими трубы I, II, III, оси которых лежат в одной плоскости, параллельной фронтальной плоскости про­екций V.

Подобная задача, как и два пре­дыдущих примера, решается на одной про­екции. В каждую из заданных труб вписы­ваем сферу, которая и определит парамет­ры переходной конической поверхности.
Проекции линии пересечения строят, как было описано выше.

***** РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!

*****