Лекальные кривые линии

Для построения лекальных кривых оп­ределяют точки, принадлежащие кривой, а затем соединяют их с помощью лекала.
К лекальным кривым относятся так на­зываемые конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, получаемые в ре­зультате сечения кругового конуса плоско­стью, эвольвента, синусоида и другие кри­вые.

Рис. 38. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу (а) и эллипс (б)

Пересечение конуса плоскостью по эллипсу
Эллипс.

Если рассечь поверхность кру­гового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образу­ющие, то в плоскости сечения получится эллипс (рис. 38, а). Эллипс (рис. 38, б) — это плоская за­мкнутая кривая, у которой сумма расстоя­ний каждой из ее точек М до двух за­данных точек F₁ и F₂ есть величина по­стоянная и равная большой оси эллипса: MF₁+ MF₂ = AB.

Оси эллипса — большая АВ и малая CD — взаимно перпендику­лярны и одна делит другую пополам. Оси делят кривую эллипса на четыре равные, попарно симметричные части. Если из кон­ цов малой оси CD, как из центров, описать дугу окружности радиусом, равным поло­ вине большой оси эллипса R-ОА-ОВ, то она пересечет ее в точках F₁ и F₂, на­зываемых фокусами.

Рис. 39. Построение эллипса по осям

Построение эллипса по осям

На рис. 39 приведен один из способов построения эллипса по его осям. На заданных осях АВ и CD, как на диаметрах, строим две концентрические окружности с центром в точке О.

Большую окружность делим на произвольное число частей, и по­лученные точки соединим прямыми с цент­ ром О. Из точек пересечения 1, 1′, 2, 2′, 3, 3′, 4, 4′ со вспомогательными окруж­ностями проведем отрезки вертикальных и горизонтальных прямых до их взаимного пересечения в точках Е, F, К, М, принад­лежащих эллипсу. Соединив с помощью лекала построенные точки плавной кри­вой, получим эллипс.

Парабола.

Если круговой конус рассечь плоскостью Р, параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения полу­чится парабола (рис. 40, а). Парабола (рис. 40, б) — плоская неза­мкнутая кривая линия, каждая точка ко­торой расположена на одинаковом рассто­янии от данной прямой MN — направляю­щей, перпендикулярной оси параболы,и от фокуса F. Вершина параболы А рас­положена посередине между фокусом F и направляющей MN.

Рис. 40. Пересечение конуса плоскостью по параболе (а); построение параболы по фокусу и директрисе (б) н по двум ее точкам и касательным (в)

Пересечение конуса плоскостью по параболе
Для построения параболы по заданной направляющей и фокусу через точку F проведем ось к параболы перпендику­лярно направляющей MN. Отрезок EF разделим пополам и получим вершину А параболы.

Перпендикулярно оси пара­болы на произвольном расстоянии от вер­шины проведем прямые. Из точки F радиу­сом, равным расстоянию L от направляющей до соответствующей прямой, напри­мер СВ, делаем засечки на этой прямой — точки С и В. Построив таким образом несколько пар симметричных точек, проведем через них с помощью лекала плав­ную кривую.

На рис. 40, в приведен еще один способ построения параболы, касательной к двум прямым ОА и ОВ в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делим на одинаковое число рав­ных частей (например, на восемь). Полу­ченные точки деления нумеруем и однои­менные точки соединяем прямыми 1 —1, 2—2, 3—3 и т. д., как указано на рисунке.

Эти прямые являются касательными к па­раболической кривой. Далее в образован­ный прямыми контур вписываем плавную касательную кривую — параболу.

Рис. 41. Построение параболы по одной точке, вершине и оси (а); чертеж вазы с параболическим контуром (б)

Построение параболы по одной точке, вершине и оси

На рис. 41, а парабола построена по заданной точке А, вершине В и оси BD. Через точки А и В проведем горизонталь­ную и вертикальную прямые до пересече­ния в точке С. Отрезки АС и ВС делим на одинаковое число частей.

Через получен­ные точки горизонтального отрезка проведем вертикальные прямые, а точки деле­ния вертикального отрезка соединим с вершиной параболы — с точкой В. Пере­сечение прямых с одинаковой нумерацией дает ряд точек параболы, которые соеди­няем плавной кривой. На рис. 41,б дан чертеж вазы.

Внешний контур основной ее части — чаши представляет собой парабо­лическую кривую, построенную этим спо­собом.

Гипербола.

Если рассечь прямой и об­ ратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном слу­чае параллельно оси, то в плоскости сече­ния получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 42, а).

Рис. 42. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б)

Пересечение конуса плоскостью по гиперболе

Гиперболой (рис. 42, б) называется плоская кривая, у которой разность рас­ стояний от каждой ее точки до двух дан­ных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между ее вершинами а и Ь, на­пример SF₁ — SF₂ = ab.
У гиперболы две оси симметрии — дей­ствительная АВ и мнимая CD.

Две прямые KL и K₁L₁, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимпто­тами.
Гиперболу можно построить по задан­ным вершинам а и b и фокусам F ₁ и F₂.
Вершины гиперболы определяем, вписы­вая прямоугольник в окружность, постро­енную на фокусном расстоянии (отрезке F₁F₂), как на диаметре. На действитель­ной оси АВ справа от фокуса F₂ намечаем произвольные точки 1,2,3,4… Из фокусов F₁ и F₂ проводим дуги окружностей снача­ла радиусом а — 1, затем радиусом b — 1 до взаимного пересечения по обе сторо­ны от действительной оси гиперболы.

Да­лее выполним взаимное пересечение сле­дующей пары дуг радиусами а — 2 и b — 2 (точка S) и т. д. Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой вет­ви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относи­тельно мнимой оси CD. Вычерчивание лекальных кривых.

Ле­кальные кривые строят по точкам, которые соединяют с помощью лекал. Предвари­тельно от руки прорисовывают кривую по точкам. Принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем.

Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим ко­личеством точек очерчиваемой кривой. Далее проводим не всю дугу кривой, со­ впадающую с лекалом, а лишь среднюю часть ее.

После этого подбираем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведен­ ной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и т. д. Таким образом обес­печивается плавный переход между от­ дельными дугами кривой.

*****
РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!
*****

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Беларуская моваEnglishFrançaisDeutschКыргызчаLatviešu valodaLietuvių kalbaLëtzebuergeschRomânăРусскийУкраїнська
Optimized with PageSpeed Ninja