Лекальные кривые линии
Для построения лекальных кривых определяют точки, принадлежащие кривой, а затем соединяют их с помощью лекала.
К лекальным кривым относятся так называемые конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, получаемые в результате сечения кругового конуса плоскостью, эвольвента, синусоида и другие кривые.
Рис. 38. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу (а) и эллипс (б)
Эллипс.
Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рис. 38, а). Эллипс (рис. 38, б) — это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний каждой из ее точек М до двух заданных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная и равная большой оси эллипса: MF₁+ MF₂ = AB.
Оси эллипса — большая АВ и малая CD — взаимно перпендикулярны и одна делит другую пополам. Оси делят кривую эллипса на четыре равные, попарно симметричные части. Если из кон цов малой оси CD, как из центров, описать дугу окружности радиусом, равным поло вине большой оси эллипса R-ОА-ОВ, то она пересечет ее в точках F₁ и F₂, называемых фокусами.
Рис. 39. Построение эллипса по осям
На рис. 39 приведен один из способов построения эллипса по его осям. На заданных осях АВ и CD, как на диаметрах, строим две концентрические окружности с центром в точке О.
Большую окружность делим на произвольное число частей, и полученные точки соединим прямыми с цент ром О. Из точек пересечения 1, 1′, 2, 2′, 3, 3′, 4, 4′ со вспомогательными окружностями проведем отрезки вертикальных и горизонтальных прямых до их взаимного пересечения в точках Е, F, К, М, принадлежащих эллипсу. Соединив с помощью лекала построенные точки плавной кривой, получим эллипс.
Парабола.
Если круговой конус рассечь плоскостью Р, параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рис. 40, а). Парабола (рис. 40, б) — плоская незамкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от данной прямой MN — направляющей, перпендикулярной оси параболы,и от фокуса F. Вершина параболы А расположена посередине между фокусом F и направляющей MN.
Рис. 40. Пересечение конуса плоскостью по параболе (а); построение параболы по фокусу и директрисе (б) н по двум ее точкам и касательным (в)
Для построения параболы по заданной направляющей и фокусу через точку F проведем ось к параболы перпендикулярно направляющей MN. Отрезок EF разделим пополам и получим вершину А параболы.
Перпендикулярно оси параболы на произвольном расстоянии от вершины проведем прямые. Из точки F радиусом, равным расстоянию L от направляющей до соответствующей прямой, например СВ, делаем засечки на этой прямой — точки С и В. Построив таким образом несколько пар симметричных точек, проведем через них с помощью лекала плавную кривую.
На рис. 40, в приведен еще один способ построения параболы, касательной к двум прямым ОА и ОВ в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делим на одинаковое число равных частей (например, на восемь). Полученные точки деления нумеруем и одноименные точки соединяем прямыми 1 —1, 2—2, 3—3 и т. д., как указано на рисунке.
Эти прямые являются касательными к параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписываем плавную касательную кривую — параболу.
Рис. 41. Построение параболы по одной точке, вершине и оси (а); чертеж вазы с параболическим контуром (б)
На рис. 41, а парабола построена по заданной точке А, вершине В и оси BD. Через точки А и В проведем горизонтальную и вертикальную прямые до пересечения в точке С. Отрезки АС и ВС делим на одинаковое число частей.
Через полученные точки горизонтального отрезка проведем вертикальные прямые, а точки деления вертикального отрезка соединим с вершиной параболы — с точкой В. Пересечение прямых с одинаковой нумерацией дает ряд точек параболы, которые соединяем плавной кривой. На рис. 41,б дан чертеж вазы.
Внешний контур основной ее части — чаши представляет собой параболическую кривую, построенную этим способом.
Гипербола.
Если рассечь прямой и об ратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельно оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 42, а).
Рис. 42. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б)
Гиперболой (рис. 42, б) называется плоская кривая, у которой разность рас стояний от каждой ее точки до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между ее вершинами а и Ь, например SF₁ — SF₂ = ab.
У гиперболы две оси симметрии — действительная АВ и мнимая CD.
Две прямые KL и K₁L₁, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами.
Гиперболу можно построить по заданным вершинам а и b и фокусам F ₁ и F₂.
Вершины гиперболы определяем, вписывая прямоугольник в окружность, построенную на фокусном расстоянии (отрезке F₁F₂), как на диаметре. На действительной оси АВ справа от фокуса F₂ намечаем произвольные точки 1,2,3,4… Из фокусов F₁ и F₂ проводим дуги окружностей сначала радиусом а — 1, затем радиусом b — 1 до взаимного пересечения по обе стороны от действительной оси гиперболы.
Далее выполним взаимное пересечение следующей пары дуг радиусами а — 2 и b — 2 (точка S) и т. д. Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой ветви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относительно мнимой оси CD. Вычерчивание лекальных кривых.
Лекальные кривые строят по точкам, которые соединяют с помощью лекал. Предварительно от руки прорисовывают кривую по точкам. Принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем.
Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим количеством точек очерчиваемой кривой. Далее проводим не всю дугу кривой, со впадающую с лекалом, а лишь среднюю часть ее.
После этого подбираем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведен ной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и т. д. Таким образом обеспечивается плавный переход между от дельными дугами кривой.
*****
Добавить комментарий