Движение подземных вод

Движение подземных вод в горных породах обусловлено физическим состоянием самой воды, напорным градиентом, размерами пустот и свойствами горных пород.Вода, заключенная в пустотах горных пород, передвигается в них по законам, обусловленным физическим состоянием самой воды, напорным градиентом, свойствами горных пород и размерами пустот. В воздушно-сухих породах , содержащих только парообразную и гигроскопическую воду, могут передвигаться пары воды. как было сказано ранее, пары воды могут передвигаться в пустотах горных пород или вместе с воздухом или независимо от воздуха, под влиянием разности упругости паров в различных слоях породы.

Передвижение паров в этом случае будет идти от слоя с большей упругостью к слою с меньшей упругостью. Если пары воды находятся в состоянии насыщения, то есть имеют максимальную упругость возможную при данной температуре, то они передвигаются от слоя с большей температурой к слою с меньшей температурой, так как упругость водяных паров тем больше, чем выше их температура.Гигроскопическая вода неподвижна и может передвигаться только путем переходов в парообразное состояние.

Рисунок-1. Схема передвижения пленочной воды ( по А.Ф. Лебедеву)

В породах, содержащих пленочную воду, но не содержащих воду гравитационную, передвижение пленочной воды идет путем уравнивания толщины пленок в более тонкие до тех пор, пока толщины пленок не уравняются .Такое перемещение характерно тем, что вода не образует сплошного потока, не передает гидростатического давления и само передвижение происходит чрезвычайно медленно ( смотри рисунок-1).

Закон передвижения воды из одной пленки в другую по А.Ф, Лебедеву, может быть сформулирован так: Равновесие молекулярных сил, развиваемых поверхностью любой формы, образуемой одной частицей или системой частиц, наступает после того, когда толщина слоя молекулярной воды уравнивается по всей поверхности частицы или системы частиц.

В зоне капиллярного насыщения капиллярная вода передвигается под действием поверхностных сил. Силы капиллярного натяжения могут вызвать капиллярное поднятие и капиллярное всасывание при инфильтрации в сухую породу. Высота капиллярного поднятия может быть определена по формуле Козени:

Нк=0,446 ·(1-n)/n ·1/de,

где Нк-высота капиллярного поднятия , см; n- пористость, доли единицы ; de-действующий (эффективный) размер частиц породы. Скорость капиллярного движения воды в грунте может быть определена по формуле:

V=(Kф/h)·(Нк-h)/h,

где Kф-коэффициент пропорциональности ( коэффициент фильтрации ), о котором будет сказано в дальнейшем; h-высота капиллярного поднятия на данный момент времени. Если инфильтрация капиллярной воды в сухую породу при наличии над ее поверхностью избыточно свободного слоя воды сопровождается действием напора, то движение получает более сложный характер. Указанные закономерности движения капиллярной воды , как правило, могут иметь место только в тех случаях, когда количество ее достаточно для того, чтобы отдельные мениски соприкасались между собой, то есть в случае капиллярно-четочной воды.

При капиллярно-стыковой воде движение ее, как и передачи гидростатического давления, не происходит.Свободная вода перемещается по общим закономерностям движения жидкости. Известно, что движение жидкости может протекать в двух формах.В одних случаях перемещение каждой частицы жидкой массы происходит за счет непрерывной деформации ее самой и окружающей ее среды, при этом частицы жидкости движутся совершенно правильными параллельными струйками( ламинарное или пленочное движение).

В других отдельные частицы, отрываясь от основной массы жидкости, начинают двигаться по самым различным траеткориям, все время сталкиваясь между собой до тех пор, пока не потеряют своей энергии и не смещаются с остальной жидкостью ( турбулентное или вихревое движение). Переход из ламинарного движения в турбулентное и обратно зависит, в первую очередь от скорости частиц жидкости. Скрость движения жидкости при которой происходит этот переход называется критической скоростью.

Другими факторами, влияющими на тип движения жидкости, являются ее вязкость и плотность, поперечные размеры потока и характер русла, по которому происходит движение. Особенно важна шероховатость русла. Движение жидкости в порах нескальных пород в основном происходит по типу ламинарного. Количество воды, протекающее ( фильтрующееся) через данное поперечное сечение породы в единицу времени , пропорционально этому сечению, прямо пропорционально падению напора, обратно пропорционально длине фильтрации на данном участке потока и зависит от некоторой величины, называемой коэффициентом фильтрации.

Закон Дарси

Математически эта закономерность выражается формулой:

Q=Kф(ΔH/l) ω,

где Q-количество воды , протекающее в единицу времени ; Kф-коэффициент пропорциональности ( коэффициент фильтрации); ΔН- падение напора на длине пути фильтрации потока; w-площадь поперечного сечения потока; l-длина пути фильтрации потока.

Отношение ΔH/l обычно обозначают буквой I иназывают гидравлическим уклоном или гидравлическим градиентом.Если принять площадь поперечного сечения потока равной единице, то получим величину удельного расхода воды:

q=Q/ω=Кф ΔН/l=Кф I;

Выражение Q/ω в то же время является величиной скорости. Следовательно , выражение q=Кф I имеет двойной физический смысл: оно представляет собой величину удельного расхода воды через единицу сечения потока и в то же время дает величину скорости фильтрации воды.

Эта закономерность получила название закона Дарси ( по имени инженера Дарса, впервые открывшего ее в 1856 г). Нетрудно видеть , что если q представляет собой величину скорости , а величина I безразмерна, то следовательно величины q и Кф имеют одинаковую размерность скорости-сантиметр в секунду. Не следует смешивать при этом величину скорости фильтрации со скоростью движения частиц воды. Скорость движения частиц воды может быть получена если расход воды отнести не к площади сечения потока, а к сумме площадей отверстий ( пор), по которым движется вода в породе , то есть к пористоти породы:

V=Q/(ωn)=q/n или q=vn.

Для установления применимости закона Дарси используется число Рейнольдса (Re), которое в гидравлике выражается зависимостью:

Re=(Rг v)/ϒ=Rг Vρж/μ; где Rг-гидравлический радиус, равный отношению площади поперечного сечения к смоченному периметру ; v-средняя скорость потока в данном поперечном сечении; ) ϒ-кинематическая вязкость жидкости; ρж-плотность жидкости ; μ-динамическая( абсолютная) вязкость жидкости.

В.Н.Щелкачов считает, что для движения воды в порах горных пород число Рейнольдса следует определять из выражения

Re=10/2,3 n(v√ρж Кф/√μ);

где n-пористость породы, доли единицы; Кф-коэффициент фильтрации. Н.Н. Павловский экспериментально установил, что нарушение линейного закона фильтрации ( закона Дарси) наступает, когда число Рейнольдса достигает своего нижнего критического значения.Для определения числа Рейнолдса при движении жидкости в зернистых грунтах Н.Н. Павловский предложил формулу:

Re=1/(0,75n+0,23)(vde/ϒ),

где de-эффективный( действующий)диаметр частиц.По данным Н.Н. Павловского, критическое значение числа Рейнольдса при котором нарушается закон Дарси, находится в пределах от 7,5 до 9. В соответствии с этим критическая скорость фильтрации может быть вычислена из выражения :

vкр=(0,75n+0,23)( ϒ/de)Rekp,

где ) ϒ-кинематический коэффициент вязкости. При значении скорости фильтрации V< Vkp движение воды в горных породах будет ламинарным а при скорости фильтрации V>Vkp-турбулентным.

Закономерность турбулентного движения воды выражается формулой Шези:

V=C√RгI;

где V-скорость движения воды, см/с; С-коэффициент зависящий от шероховатости стенок и некоторых других условий ; Rг -гидравлический радиус, см; I -гидравлический градиент. А.А. Краснопольский предложил ввести в формулу Шези обозначение C√Rг=Кк, тогда V=KkI½, таким образом , формула турбулентного движения принимает вид, аналогичный виду формулы ламинарного движения.

В порах и пустотах горных пород может возникать так называемое смешанное движение воды, являющееся промежуточным между ламинарным и турбулентным. Рассматривая этот вид движения, Смрекер пришел к выводу, что оно может быть выражено формулой :

V=KcI(1/m), где m=1÷2.

По данным Г.Н. Каменского , линейный закон фильтрации справедлив при действительной средней скорости движения подземных вод до 1000 м/сут или при скорости фильтрации до 400 м/сут. Такие скорости значительно превышают скорости естественных потоков подземных вод в песчаных и крупнообломочных породах и могут встречаться только в крупных трещинах и карстовых пустотах.Поэтому, как правило в современной теории движения подземных вод, рассматривается только ламинарная ( линейная) фильтрация.

Уравнение движения плоского потока и определение притока воды к горизонтальным выработкам

Изучая закономерности движения воды в горных породах, различают два его вида : установившееся и неустановившееся.Движение подземных вод считается установившимся , когда уровни воды и все другие элементы потока остаются постоянными во времени .Если уровни воды в одних и тех же точках изменяются во времени, то оно считается неустановившимся . Основные уравнения движения потока подземных вод выведены применительно к установившемуся движению.

Для случаев неустановившегося движения вводятся различные поправки и уточнения к основным уравнениям. По условию дренирования и направления отдельных элементов следует различать потоки плоские и радиальные.В плоском линии тока имеют в плане вид параллельных прямых.Очевидно, в этом случае линии тока и гидроизогипсы образуют сеть прямоугольников.Плоский поток практически может иметь место в междуречьях или в случаях притока подземных вод к горизонтальным выработкам: канавам, штольням и другие. В радиальном потоке линии тока непаралле6льны.Они могут быть в плане прямыми и криволинейными, сходящимися и расходящимися.

Наиболее простым случаем является поток, воды которого собираются в колодце.Для такого потока линии тока сходятся в одной точке -центре колодца и в плане имеют форму прямых, являющихся продолжением радиусов колодца.Простейшей формой движения потока подземных вод в нескальной породе будет установившееся равномерное движение, которое может возникнуть только при условии, что водоупорное ложе имеет равномерный уклон, а сечение потока остается постоянным ( рис-1).

Рисунок-1. Схема установившегося равномерного движения грунтового потока

В этом случае расход воды Q=KфВh(H2-H1)/l, а удельный расход на единицу потока q=Kфh(H2-H1)/l, где Kф-коэффициент фильтрации; В-ширина потока;
В тех случаях когда водоупорное ложе не имеет уклона уклон его неравномерный, установившееся движение потока подземных вод будет неравномерным и продольное сечение зеркала потока получается криволинейным. Кривая линия, получающаяся при пересечении поверхности воды в потоке с продольной вертикальной плоскостью сечения, называется кривой депрессии ( рис-2).

Рисунок-2. Кривая депрессии грунтового потока:

R-расстояние на котором первоначальный уровень воды остается непониженным. Для установившегося неравномерного движения уравнение плоского потока может быть получено следующим образом. Средняя скорость фильтрации воды в точке с координатами х и у :

q=Kф(dy/dx), расход воды : Q=qw=wKф(dy/dx)=ByKф(dy/dx), откуда ydy=(Q/BKф) dx. Интегрируя это выражение, получим:

y²=(2Q/BKф)x+C, что действительно для любой точки кривой депрессии, в том числе и для точки с координатами х1 и у1:

У1²=(2Q/BKф) x1+C.

Вычитая одно уравнение из другого, имеем следующее:

у²-У1²=(2Q/BKф)(x-x1).

Для начала координат х1=0 и у1=h0, что дает возможность преобразовать общее уравнение установившегося неравномерного движения плоского потока: у²-h0²=(2Q/BKф) x;

Это уравнение позволяет определять природный расход подземного плоского потока и величину свободного притока воды к горизонтальной выработке ( водосборной канаве, штольне и так далее ). Уравнение природной производительности плоского потока на некотором участке длиной L и шириной В=1: У2²-У1²=(2Q/Kф)l;
решая его относительно Q, получим следующее:

Q=(У2²-У1²)Kф/2l=(y2-y1)(y2+y1)Kф/2l.

Величина (y2+y1)/2 может рассматриваться как средняя величина мощности потока, а величина (y2-y1)/L-соответствующей гидравлическому градиенту. Следовательно, природный расход плоского потока на участке длины l при ширине потока равной единице, может быть выражен равенством : Q=KфhсрI;
Полученное выражение справедливо как для горизонтального, так и наклонного ложа потока.

Величина притока воды в горизонтальный водосборник( канаву, штрек, и т.п.) также может быть определена из выражения :

у²-h0²=(2Q/BKф) x;

Рассмотрим участок от точки А, в которой не сказывается действие канавы или штольни, до точки B, расположенной у стенки канавы ( рис-2). Расстояние от А до В называется пределом или радиусом депрессии и обозначается буквой R.

Координаты точки А будут х= R; у=Н; точки В-х=0 и у=h0.Подставим эти значения координат в общее выражение уравнения движения:

Н²-h0²=(2Q/BKф)(R-O), откуда Q=BKф(H²-h0²)/2R.
Если канава будет собирать воду с двух сторон при одинаковых условиях фильтрации, то величина полного притока воды к канаве будет в два раза больше:
Q′=(H²-h0²)BKф/R.
Уравнение Q=BKф(H²-h0²)/2R, может быть использовано и для случая притока ненапорных вод к подземной водосборной галерее.

Уравнение движения радиального потока и определение притока к колодцам

Если линии тока не параллельны между собой, то образуется радиальный поток подземных вод, который в зависимости от направления линий тока может быть сходящимся и расходящимся.В частности, это наблюдается при движении подземных вод к водосборному колодцу.Так как движение воды неразрывно, то при установившемся движении и отсутствии питания сверху и снизу количество воды, просачивающейся в колодец, равно количеству воды проходящему в то же время через любую цилиндрическую поверхность, концентрическую с поверхностью колодца ( рисунок-3).

Рисунок-3. Депрессионная кривая грунтового колодца:

Н-первоначальный непониженный уровень; h0-пониженный уровень воды в колодце; S0-величина понижения уровня воды в колодце; r-радиус колодца; R-радиус депрессии.

Если радиус такой поверхности х, а высота у, то уклон уровня грунтовой воды во всех точках, находящийся в расстояниях от оси колодца, i=dy/dx; Средняя скорость фильтрации по закону Дарси: q=Kф(dy/dx).

Боковая поверхность цилиндра ω=2πxy.Следовательно , приток воды через эту поверхность в единицу времени :

Q=wq=2πxyKф(dy/dx), или ydy=Q/(2πxyKф)dx; Интегрирование этого уравнения дает:

у²= Q/(πKф)lnx + C; Подставим какие-нибудь определенные значения х=х1 и у=у1, получим у1²=Q/(πKф)lnx1 + C;
Вычитая уравнение у1²=Q/(πKф)lnx1 + C из уравнения у²= Q/(πKф)lnx + C, получим общее уравнение движения радиального потока :

у²-у1²=Q/(πKф)( lnx -lnx1);

Из выражения у²= Q/(πKф)lnx + C может быть определен дебит колодца :
Q=πKф(H²-h0²)/(lnR-lnr0)

Для практических целей удобнее вместо натуральных логарифмов пользоваться десятичными. Учитывая, что модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным равен 2,3, получим:

Q=1,366 Kф(H²-h0²)/(lgR-lgr0);

Величина H²-h0² может быть преобразована следующим образом: H²-h0² =(Н+h0)(Н- h0).

Но из рисунка -3 видно, что разность уровней равна величине понижения , то есть H-h0=S, и следовательно, h0=H-S. Подставляя эти значения h0, и H-h0 в формулу дебита, имеем:
Q=1,366Кф(2H-S)S/(lgR-lgr0).

Таким же образом можно найти закономерность притока напорных вод.При этом необходимо выделить два основных случая.

Первый случай:

При малой откачке воды из колодца пониженный уровень воды в колодце будет выше кровли напорного водоносного горизонта ( рис-4,а). При этом приток воды в колодце всегда осуществляется по цилиндрической поверхности высотой М, равной мощности водоносного горизонта.Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид:

Q=ωq=2πxMKф(dy/dx).

Интегрируя это уравнение и исключая постоянную интегрирования аналогично тому, как это было сделано для грунтового колодца, получим :
Q=2πMKф(H-h0)/(lnR-lnr0)=2,73MKфS/(lgR-lgr0).
Такой колодец называется артезианским.

Второй случай:

При достаточно интенсивной откачке воды пониженный уровень воды в колодце будет ниже кровли водоносного горизонта ( рис-4, б). В этом случае при х ≥ а напор в пределах водоупорной кровли снижается и, следовательно, применимо выражение водопритока к артезианскому колодцу:

Q=2πKфМ(Н-М)/(lnR-lna), откуда lna=lnR-2πKфМ(H-M)/Q; при х ≤ а снижение напора в пределах водоносного горизонта происходит с образованием воронки осушения и действительная закономерность водопритока к грунтовому колодцу:

Q=(M²-h0²)πKф/(lna-lnr0),
Подставляя в это выражение полученное ранее значение lna, имеем :

Q=πKф[( M²-h0²)/(lnR-lnr0-{(H-M)2πKфM/Q};

Решая полученное уравнение относительно Q, находим значение водопритока для данного случкая:

Q=πKф[(2H-M)m-h0²/lnR-lnr0)], или заменяя натуральные логарифмы десятичными и подставляя значение «пи» :

Q=1,366Kф[(2H-M)M-h0²/lgR-lgr0].

Такой колодец называется грунтово -артезианским.